Modelagem Hidrológica no SWMM - Propagação do Escoamento na Rede de Drenagem

O SWMM permite o uso do modelo de transporte hidráulico da onda dinâmica por meio de três procedimentos diferentes. A escolha é determinada pelo valor do parâmetro ISOL fornecido pelo usuário nos dados de entrada. Neste artigo será apresentado o método explícito (ISOL = 0), padrão do SWMM (U.S. EPA, 2006).

Segundo U.S. EPA (2006), o SWMM resolve da mesma forma as equações de conservação de massa e de momento que governam o escoamento instável em uma rede de drenagem. Estas equações são conhecidas como as equações de Saint Venant e podem ser expressas da seguinte forma, para o escoamento ao longo de um único conduto:

em que x é a distância ao longo do conduto, t é o tempo, A é a área da seção transversal, Q é a vazão, H é a carga hidráulica no conduto, Sf é a declividade da linha de energia (perda de energia em função do atrito por unidade de comprimento), HL é a perda de energia local por unidade de comprimento do conduto e g é a aceleração da gravidade.

Observe que, para uma seção transversal conhecida, a área (A) é uma função conhecida da lâmina d’água (y), por sua vez, pode ser obtida a partir da carga hidráulica H. Assim, as variáveis dependentes nessas equações são a vazão Q e a carga hidráulica H, que são funções da distância x e do tempo t (U.S. EPA, 2006).

A declividade da linha de energia Sf pode ser expressa nos termos da equação de Manning como (U.S. EPA, 2006):

em que n é o coeficiente de rugosidade de Manning, V é a velocidade de escoamento (igual a vazão Q dividida pela área de seção transversal A), R é o raio hidráulico da seção transversal e k = 1,49 para unidades americanas ou 1,0 para o S.I..

A perda de energia local HL pode ser expressa como (U.S. EPA, 2006):

em que K é um coeficiente de perda de local na localização x e L é o comprimento do conduto.

Para resolver as equações (1) e (2) ao longo de um único conduto, é necessário um conjunto de condições iniciais para H e Q, no tempo 0, assim como condições de contorno em x = 0 e x = L para todos os tempos t (U.S. EPA, 2006).

Quando uma rede de drenagem é analisada, torna-se necessária a utilização de uma relação de continuidade adicional para os nós de junção que conectam dois ou mais condutos em conjunto (Figura 1). Dentro do SWMM é assumida a existência de uma superfície contínua de água entre a lâmina d’água do nó e a dos condutos que entram e saem dele. A alteração da carga hidráulica H no nó em relação ao tempo pode ser expressa como (U.S. EPA, 2006):

em que Astore é a área da superfície do nó, ΣAs é a área de superfície com que condutos ligados a esse nó contribuem e ΣQ é a vazão no nó (entrada - saída) derivada de todos os condutos ligados a ele, assim como de contribuições externas de vazão.

Figura 1 – Representação Nó-Conduto de um sistema de drenagem no SWMM (ROESNER et al., 1992 citado por U.S. EPA, 2006).

Solução geral para os condutos

As equações (1), (2), e (5) são resolvidas no SWMM convertendo-as em um conjunto explícito de fórmulas de diferenças finitas que calculam o escoamento em cada conduto e em cada nó para o tempo t + Δt como funções dos valores conhecidos no intervalo t. A Equação 6 é aplicada para a determinação do escoamento em cada conduto (U.S. EPA, 2006):

Os termos ΔQ foram nomeados em função do tipo de força que representam e são determinados pelas seguintes expressões (U.S. EPA, 2006):

Em que:

A = área média da seção transversal de escoamento no conduto.

R = raio hidráulico médio no conduto.

V = velocidade média de escoamento no conduto.

Vi = velocidade local de escoamento na localização i ao longo do conduto.

Ki = coeficiente de perda local na localização i ao longo do conduto.

H1 = carga no nó a montante do conduto.

H2 = carga no nó a jusante do conduto.

A1 = área da secção transversal na extremidade a montante do conduto.

A2 = área da secção transversal na extremidade a jusante do conduto.

A equação aplicada para a determinação da carga em cada nó é a 11:

em que ΔVol é o volume escoado por meio do nó ao longo do intervalo de tempo dado. E é determinado por:

O SWMM resolve as  Equações 6 e 11, utilizando um método de iteração com relaxamento (U.S. EPA, 2006). O procedimento segue estas etapas:

1. Primeiro é estimado o escoamento em cada conduto no tempo t + Δt por meio da Equação 6 utilizando as cargas, áreas e velocidades obtidas no intervalo atual t. Em seguida, o mesmo é feito para as cargas por meio da Equação 11 usando os escoamentos já calculados. Essas soluções são denominadas como Qlast e Hlast.

2. A Equação 6 é resolvida novamente, utilizando as cargas, áreas, e velocidades referentes aos valores de Qlast e Hlast já calculados. Um fator de relaxamento Ω é usado para combinar a nova vazão estimada Qnew, com a estimada previamente Qlast de acordo com a equação:

produzindo um valor atualizado de Qnew.

3. A Equação 11 é resolvida novamente para as cargas, usando as vazões Qnew. Tal como acontece com a vazão, nesta nova solução, Hnew é ponderado com Hlast para produzir uma estimativa atualizada para as cargas:

4. Se Hnew está próximo o suficiente de Hlast, o processo se encerra com Qnew e Hnew como as soluções para o intervalo t + Δt. Caso contrário, Hlast e Qlast são substituídos por Hnew e Qnew, respectivamente, e o processo retorna para a etapa 2.

Na aplicação do presente procedimento, o SWMM emprega um fator constante de relaxamento Ω de 0,5 com tolerância de convergência de 0,005 pés sobre as cargas nos nós, e limita o número de ensaios a quatro (U.S. EPA, 2006).

Cálculo das Condições Médias dos Condutos

A avaliação do escoamento atualizado pela Equação 6 requer valores médios de área (A média), raio hidráulico (R médio) e velocidade (V média) ao longo do conduto em questão. O SWMM calcula esses valores usando as cargas H1 e H2 de cada extremidade do conduto, os quais correspondem aos valores de lâmina d’água y1 e y2, podendo ser derivados. Uma lâmina d’água média  é calculada utilizando esses valores médios e é usada com a seção transversal do conduto para determinar a área média e o raio hidráulico médio. A velocidade média é obtida pela divisão do valor de vazão mais recente pela área média. O SWMM restringe essa velocidade para que ela não exceda 50 pés/s (aproximadamente 15 m/s) em valor absoluto, de modo a não permitir que o valor da declividade da linha de energia na Equação 6 se torne ilimitado (U.S. EPA, 2006).

Quando o conduto tem uma descarga em queda livre em qualquer um dos seus nós finais (o que significa que a lâmina d’água no nó está abaixo da elevação invertida do conduto), a lâmina d’água no final do conduto é definida como igual ou menor à lâmina crítica e como a lâmina d’água normal para o escoamento modelado dentro do conduto (U.S. EPA, 2006).

Cálculo da Área Superficial

A área superficial As com que os condutos contribuem para seus respectivos nós finais é calculada pelo SWMM e depende das condições de escoamento no interior do conduto. Em condições normais, é igual à metade do comprimento do conduto vezes a largura média da superfície molhada nos pontos médio e final do conduto. Essas larguras são obtidas antes da próxima atualização do escoamento, utilizando as lâminas d’água y1, y2 e ymédio discutidas anteriormente. Se o influxo do conduto para o nó ocorre em queda livre (ou seja, a cota de fundo do conduto está acima da lâmina d’água no nó), o conduto não contribui para a área superficial do nó (U.S. EPA, 2006).

Para condutos em seção fechada (tais como bueiros circulares) com percentual de enchimento maior que 96%, o SWMM utiliza uma largura de superfície molhada constante correspondente à taxa de enchimento de 96% do conduto. Isso impede que o termo de ajuste de carga na Equação 11 exceda a largura de superfície molhada real correspondente à área superficial e vá a 0(zero), como quando o conduto se aproxima de seu total enchimento (U.S. EPA, 2006).

O programa atribui uma área superficial mínima Astoremin para todos os nós, incluindo as conexões que normalmente não têm volume de armazenamento, para evitar que a Equação 11 se torne ilimitada. O valor padrão para essa área mínima é de 12,57 pés² (ou seja, a área de um bueiro com um diâmetro aproximado de 1,20 m) mas pode ser substituído por um valor fornecido pelo usuário (U.S. EPA, 2006).

Condições de Sobrecarga

O SWMM define que um nó está em condição sobrecarregada quando a lâmina d’água excede a geratriz superior do conduto em cota mais elevada conectada a ele. Sob essas condições a área superficial com que quaisquer condutos fechados contribuem seria zero e a Equação 5 não seria mais aplicável. Para resolver essa situação, o SWMM aplica uma condição de continuidade nodal alternativa, ou seja, de que a descarga total de saída de um nó sobrecarregado deve ser igual ao afluxo total ΣQ=0. Essa equação é insuficiente, por si só, para atualizar cargas nodais no novo intervalo de tempo, uma vez que contém apenas as vazões. Além disso, como as equações de atualização do escoamento e da carga no sistema não são resolvidas simultaneamente, não há qualquer garantia que a condição irá ser mantida nos nós sobrecarregados após a obtenção das soluções de escoamento (U.S. EPA, 2006).

Para aplicar a condição de continuidade do escoamento é empregada uma equação de perturbação, expressa na forma (U.S. EPA, 2006):

em que ΔH é o ajuste de carga no nó que deve ser feito para atingir a continuidade do escoamento. Resolvendo ΔH na expressão:

em que a partir da Equação 6,

(o termo ∂Q/∂H tem um sinal negativo na frente porque, ao calcular ΣQ, a vazão direcionada para fora de um nó é considerada negativa enquanto o afluxo é positivo).

Toda vez que a Equação 16 é empregada para atualizar a carga de um nó sobrecarregado, a Equação 6 é reaplicada para fornecer atualizações de escoamento para os condutos conectados ao nó. Este processo continua até que algum critério de convergência seja encontrado. O SWMM inclui as iterações relativas à sobrecarga no conjunto normal de iterações apresentado anteriormente. Isto é, quando as cargas precisam ser calculadas por meio da iteração, a Equação 16 é utilizada no lugar da Equação 11 (se o nó se encontra sobrecarregado) e, desta vez, sem relaxamento do valor de carga obtido (U.S. EPA, 2006).

Condição Normal de Escoamento

O SWMM limita o escoamento nos condutos não sobrecarregados para que não exceda o escoamento normal de Manning na lâmina d’água da extremidade a montante do conduto sempre que uma das seguintes condições ocorrer (U.S. EPA, 2006):

1. A declividade da linha d’água é menor do que a declividade do conduto.

2. O número de Froude, baseado na lâmina d’água em cada extremidade do conduto, é maior do que 1,0.

Cada uma das condições indica um regime de escoamento supercrítico. O usuário especifica qual desses dois critérios deve ser aplicado.

Alagamento

Geralmente, nos modelos de transporte hidráulico, quando a vazão em um dos poços de visita do sistema supera a capacidade máxima da rede situada a jusante, gera-se um excesso de água que será perdido pelo sistema. O SWMM oferece a opção de armazenar esse excesso de volume na superfície do nó, na forma de um alagamento, de modo que o volume retorne ao sistema assim que a capacidade da rede de drenagem o permitir. Nos modelos de Escoamento Uniforme e da Onda Cinemática, o excesso de volume é simplesmente armazenado. Já no modelo de Onda Dinâmica ele é condicionado às lâminas d’água nos nós e o excesso de volume é representado como um alagamento em suas superfícies, com uma área constante que causa uma carga adicional. Essa área alagada é um parâmetro de entrada inserido no nó conexão (U.S. EPA, 2010).

Opcionalmente, o usuário pode representar o alagamento que ocorre na superfície de forma explícita. Em canais abertos, isso pode significar o alagamento de estradas, túneis e pontes, assim como podem surgir planícies alagáveis. Em seções fechadas, os alagamentos ocorrem nas ruas e becos localizados em pontos baixos da área em estudo. Os alagamentos superficiais também podem escoar e acumular-se em depressões do terreno no entorno, como em áreas de estacionamento, porões e simulares (U.S. EPA, 2010).

Intervalos de Tempo

O SWMM exige que quatro intervalos de tempo sejam especificados: um intervalo de tempo de escoamento para o clima úmido, outro para o clima seco, de propagação do escoamento e de reportação dos resultados. U.S. EPA (2015) pontua que o erro mais comum cometido pelos novos usuários é a definição de intervalos de tempo demasiado grandes. O intervalo de tempo de escoamento para clima úmido não deve exceder o intervalo de registro da chuva. O intervalo de tempo de propagação do escoamento nunca deve ser maior do que o intervalo de tempo de escoamento para o clima úmido.

Geralmente é definido como:

• 1 a 5 minutos (ou menos) para o Modelo de Propagação da Onda Cinemática.

• 30 s (ou menos) para Modelo de Propagação da Onda Dinâmica. 

O Modelo da Onda Dinâmica também pode empregar uma opção de intervalo de tempo variável que é reduzido automaticamente durante os períodos em que o escoamento se alterar rapidamente. Altos erros de continuidade geralmente resultam da aplicação de intervalos de tempo de propagação muito amplos. Detalhes importantes da modelagem e até mesmos dados referentes aos resultados de saída podem ser perdidos quando grandes intervalos de tempo de reportação dos resultados são fixados. A definição do tempo de reportação dos resultados e do tempo de propagação do escoamento no mesmo intervalo ajuda a evitar essa perda de informação, mas em contrapartida, pode gerar arquivos de saída muito grandes. U.S. EPA (2015) sugere a utilização inicial de intervalos de tempo menores, para que aos poucos possam ser testados valores maiores até que se encontre um que produza resultados com exatidão aceitável e de forma mais eficiente.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

U.S. ENVIRONMENTAL PROTECTION AGENCY (EPA). Storm Water Management Model Quality Assurance Report: Dynamic Wave Flow Routing. EPA/600/R-06/097. National Risk Managemente Research Laboratory. Office of Research and Development. Cincinnati, OH 45268, USA, 2006.

U.S. ENVIRONMENTAL PROTECTION AGENCY (EPA). Storm Water Management Model – Reference Manual Volume 1 - Hydrology. EPA/600/R-15/162. National Risk Managemente Research Laboratory. Office of Research and Development. Cincinnati, OH 45268, USA, 2015.

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